恭喜犀牛學(xué)員AMC取得佳績！從AMC8進(jìn)階AIME路有多遠(yuǎn)？

01

提及數(shù)論，我在這里不得不夸一句，咱們犀牛國際的知識體系，是我從教AMC體系以來銜接最緊密的。

有些機(jī)構(gòu)在對待AMC8數(shù)論部分都會輕描淡寫的帶過，這樣對孩子的AMC8成績不會有什么太大影響（因為AMC8中數(shù)論部分考察較淺，用體制內(nèi)或者小學(xué)奧數(shù)的整數(shù)知識也能解決），但是一旦上升到AMC10這個平臺，對整除運(yùn)用不熟練，對階乘、末尾數(shù)字這些考試常見的重難點(diǎn)不夠熟悉，咱們孩子進(jìn)入一個10年級競賽狀態(tài)的速度就會被這些薄弱項拖慢。諸如此類，同余問題、模運(yùn)算等知識也是學(xué)生進(jìn)入10這個難度以后容易卡殼的點(diǎn)，這邊也不太建議家長帶孩子自行預(yù)習(xí)，對重點(diǎn)知識的第一印象有時很重要。

接下來簡述下排列組合這部分，如果說數(shù)論知識可以用“整數(shù)問題”來形容，那么排列組合問題，我想也可以用“數(shù)數(shù)問題”四個字來形容。

聽上去很簡單對不對？實際上數(shù)數(shù)也是一件大有學(xué)問的事情。測度論里有個名詞叫“可數(shù)性”，今天借用一下，談?wù)勈裁词俏已壑信帕薪M合中的“可數(shù)性”。以一個學(xué)生的視角來看，從8晉級到10，無非是學(xué)的模型多了幾個，題目難了一點(diǎn)，比如從“加法、乘法原理，捆綁法插板法”這些簡單模型，進(jìn)階到一些更為抽象、復(fù)雜的模型。這種視角在我看來正確但是有偏差，整個排列組合部分其實在教我們一件很簡單的事情，叫做“沿著怎樣的思路分類可以“不重不漏”地數(shù)完所有可能性”，我在自己的課堂上習(xí)慣稱之為“可數(shù)性”，或者說從怎樣的邏輯看，此問題是“可以數(shù)出來”的，找到這條邏輯，此題目立即得證。當(dāng)然這種“可數(shù)”并不是說要“123456”這樣掰手指頭數(shù)，而是運(yùn)用“加法和乘法”這兩個最基礎(chǔ)也是最本質(zhì)性的思考問題的方式，解決咱們的一道道難題。

這里放一道某年的AMC10壓軸題，讀完題目之后，大家挨個數(shù)，想必也是能數(shù)出來的，家長朋友有興趣也可以試試，乍看之下是一道講因子分解的題目，或者說是典型的數(shù)論題目對不對？但是這題最快的解法竟然是一種排列組合解法？?。。。ǔＲ?guī)解法大概15分鐘，排列組合解法只需五分鐘）這個解法只需要兩個步驟：

第一步：證明因子“3”在六種狀態(tài)的可加性；

第二步：找出六種狀態(tài)下因子分解的可乘性。

這道例題在這兩年的授課中被我多次引用，其實只是想給學(xué)生說明一個道理：

不要把視角局限在對題目第一眼的特征上，要開闊思路看待問題。

除了知識儲備以外，在學(xué)習(xí)中“讓學(xué)生開闊思路”，培養(yǎng)“解決陌生問題”的能力而非背題能力，我想也是學(xué)生在處理AMC8-10gap的這一階段亟需解決的難點(diǎn)所在。

02